Đề thi môn Toán của kỳ thi Chọn đội tuyển An Giang tham dự Học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2023-2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang tổ chức.
KỲ THI
TỈNH
An Giang
NĂM HỌC
2023-2024
KHỐI LỚP
Trung học phổ thông
TỔ CHỨC
Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang
Cấu trúc đề thi
■ Đại số ■ Số học ■ Hình học ■ Tổ hợp ■ Giải tích
Đề thi bao gồm hai bài thi, ngày thứ nhất và ngày thứ hai, với tổng cộng 9 câu hỏi, bao quát các phân môn chính trong chương trình toán chuyên:
- Đại số: Đây là phân môn chiếm trọng tâm lớn nhất với các câu hỏi về hệ phương trình (Câu 1, Câu 6), cực trị hàm số (Câu 2, Câu 7), dãy số (Câu 3a), đa thức (Câu 4) và phương trình hàm (Câu 5).
- Số học: Xuất hiện lồng ghép trong bài toán dãy số về tính chất chia hết (Câu 3b) và các tính chất nghiệm nguyên của đa thức (Câu 4b).
- Hình học: Tập trung vào cấu trúc hình học phẳng phức tạp liên quan đến diện tích lục giác và các cặp cạnh song song (Câu 9).
- Tổ hợp: Bài toán đếm số điểm nguyên trong miền xác định (Câu 8).
- Giải tích: Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị trong bài toán thực tế (Câu 7) và khảo sát hàm số lượng giác (Câu 2).
Yêu cầu kiến thức
- Tính chia hết và số nguyên tố
- Nghiệm của đa thức và định lý Viète
- Đa thức đối xứng và đa thức thuần nhất
- Bất đẳng thức cơ bản (AM-GM)
- Hệ phương trình đối xứng
- Các dạng Cauchy cơ bản
- Dãy số và hệ thức truy hồi
- Hàm số liên tục
- Đạo hàm và ứng dụng
- Hệ trục tọa độ Descartes
- Tam giác đồng dạng
- Nguyên lý đếm cơ bản
- Quy nạp toán học
- Phản chứng và logic
Bất đẳng thức AM-GM
Hàm số
Giá trị tuyệt đối
Tính liên tục
Đạo hàm
Đa thức
Đa thức đối xứng
Phương trình hàm
Phương trình hàm Cauchy
Hệ phương trình
Dãy số
Quan hệ truy hồi
Số nguyên tố
Tính chia hết
Hệ trục tọa độ Descartes
Điểm mạng lưới
Chứng minh bằng quy nạp
Tam giác đồng dạng
Định lý Thales
Tóm tắt đề thi
Bài thi thứ nhất
- Câu 1: Giải hệ phương trình đối xứng, trong đó các biến xuất hiện cả ở dạng bình phương và nghịch đảo.
- Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác chứa trị tuyệt đối của sin và cos.
- Câu 3: Bài toán về Dãy số. Xác định số hạng tổng quát của một dãy số truy hồi tuyến tính bậc hai và sau đó chứng minh tính chia hết của một dãy số mới được định nghĩa từ dãy số ban đầu.
- Câu 4: Đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số là số nguyên, bao gồm cả việc tìm các tham số n nguyên dương để đa thức phân tích được.
- Câu 5: Phương trình hàm. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn một phương trình hàm cho trước, liên quan đến bình phương của biến và của hàm số.
Bài thi thứ hai
- Câu 6: Giải hệ phương trình ba ẩn đối xứng. Hệ phương trình được cho bởi tổng các lũy thừa bậc 1, 2 và 5 của các ẩn.
- Câu 7: Hình học và Cực trị. Tìm độ dài lớn nhất của một vật thể (thanh gỗ) có thể trôi qua một góc vuông được tạo bởi hai kênh dẫn nước với chiều rộng khác nhau. Đây là một bài toán ứng dụng tìm cực trị.
- Câu 8: Hình học giải tích và Tổ hợp. Tính số lượng các điểm có tọa độ là số nguyên nằm trong một hình được xác định bởi bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối (hình vuông xoay).
- Câu 9: Hình học và Bất đẳng thức. Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến tổng diện tích sáu tam giác được tạo ra từ việc kéo dài các cạnh đối diện song song của một lục giác lồi.
Gợi ý giải
• Bước 1: Đây là hệ phương trình đối xứng loại II. Điểm đặc biệt là vế trái là hàm bậc hai, còn vế phải chứa biến ở mẫu số.
• Bước 2: Quan sát điều kiện xác định x, y \neq 0. Từ phương trình, ta thấy vế trái 2x^2 \geq 0, dẫn đến vế phải y + \frac{1}{y} phải dương, kéo theo x, y > 0. Điều này cho phép ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho vế phải để chặn miền giá trị của x và y.
• Bước 3: Sau khi xác định được x, y \geq 1, nếu giả sử x \leq y, hãy thử đánh giá sự biến thiên của hai vế phương trình. Liệu dấu đẳng thức có phải là lối thoát duy nhất cho hệ này không?
• Bước 2: Quan sát điều kiện xác định x, y \neq 0. Từ phương trình, ta thấy vế trái 2x^2 \geq 0, dẫn đến vế phải y + \frac{1}{y} phải dương, kéo theo x, y > 0. Điều này cho phép ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho vế phải để chặn miền giá trị của x và y.
• Bước 3: Sau khi xác định được x, y \geq 1, nếu giả sử x \leq y, hãy thử đánh giá sự biến thiên của hai vế phương trình. Liệu dấu đẳng thức có phải là lối thoát duy nhất cho hệ này không?
• Bước 1: Bài toán yêu cầu phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử với hệ số nguyên (xét tính khả quy).
• Bước 2: Với n=4, biểu thức x^4 + 4 gợi nhắc đến hằng đẳng thức Sophie Germain. Hãy thử thêm bớt cụm 4x^2 để tạo ra hiệu của hai bình phương.
• Bước 3: Đối với trường hợp tổng quát, nếu đa thức P(x) phân tích được thành P_1(x) \cdot P_2(x), hãy thử xét các giá trị đặc biệt P(1) và P(-1). Các giá trị này đều bằng 5 (một số nguyên tố), điều này giới hạn thế nào về các giá trị có thể có của P_i(1) và P_i(-1)?
• Bước 2: Với n=4, biểu thức x^4 + 4 gợi nhắc đến hằng đẳng thức Sophie Germain. Hãy thử thêm bớt cụm 4x^2 để tạo ra hiệu của hai bình phương.
• Bước 3: Đối với trường hợp tổng quát, nếu đa thức P(x) phân tích được thành P_1(x) \cdot P_2(x), hãy thử xét các giá trị đặc biệt P(1) và P(-1). Các giá trị này đều bằng 5 (một số nguyên tố), điều này giới hạn thế nào về các giá trị có thể có của P_i(1) và P_i(-1)?
• Bước 1: Phương trình hàm chứa biến tự do và bình phương của hàm số.
• Bước 2: Kỹ thuật “thử và sai” với các giá trị đặc biệt là chìa khóa. Hãy bắt đầu bằng cách đặt f(0) = t và tính toán f(t) theo hai cách khác nhau từ phương trình ban đầu để triệt tiêu các đại lượng phức tạp.
• Bước 3: Sau khi đã xác định được f(0) = 0 và tính chất f(f(x)) = x, cấu trúc phương trình có dần trở về dạng phương trình hàm Cauchy f(x+y) = f(x) + f(y) không?
• Bước 2: Kỹ thuật “thử và sai” với các giá trị đặc biệt là chìa khóa. Hãy bắt đầu bằng cách đặt f(0) = t và tính toán f(t) theo hai cách khác nhau từ phương trình ban đầu để triệt tiêu các đại lượng phức tạp.
• Bước 3: Sau khi đã xác định được f(0) = 0 và tính chất f(f(x)) = x, cấu trúc phương trình có dần trở về dạng phương trình hàm Cauchy f(x+y) = f(x) + f(y) không?
• Bước 1: Hệ phương trình có tính đối xứng hoàn toàn giữa x, y, z với các tổng lũy thừa bậc 1, 2 và 5.
• Bước 2: Sử dụng các đa thức đối xứng cơ bản p = x+y+z, q = xy+yz+zx, và r = xyz. Từ p và S_2, bạn dễ dàng tìm được q.
• Bước 3: Sử dụng công thức truy hồi Newton cho tổng lũy thừa S_n: S_n - pS_{n-1} + qS_{n-2} - rS_{n-3} = 0. Khi đã có p, q và giá trị S_5, liệu bạn có tìm được r để lập phương trình bậc ba nhận x, y, z là nghiệm không?
• Bước 2: Sử dụng các đa thức đối xứng cơ bản p = x+y+z, q = xy+yz+zx, và r = xyz. Từ p và S_2, bạn dễ dàng tìm được q.
• Bước 3: Sử dụng công thức truy hồi Newton cho tổng lũy thừa S_n: S_n - pS_{n-1} + qS_{n-2} - rS_{n-3} = 0. Khi đã có p, q và giá trị S_5, liệu bạn có tìm được r để lập phương trình bậc ba nhận x, y, z là nghiệm không?
• Bước 1: Đây là bài toán tối ưu hóa hình học. Để thanh gỗ trôi qua được góc cua vuông góc, độ dài của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng “độ dài ngắn nhất” của mọi đoạn thẳng đi qua điểm góc chung C và bị chặn bởi hai bờ kênh.
• Bước 2: Thiết lập hệ trục tọa độ với gốc là điểm góc của một bờ kênh, sao cho điểm góc nhọn C có tọa độ (a, b). Viết phương trình đường thẳng đi qua C cắt hai trục tọa độ tại m và n.
• Bước 3: Độ dài thanh gỗ L^2 = m^2 + n^2. Khi biểu diễn n theo m thông qua tọa độ điểm C, bạn sẽ nhận được một hàm số. Đạo hàm của hàm số này sẽ giúp bạn tìm ra vị trí “nghẽn” nhất là khi nào?
• Bước 2: Thiết lập hệ trục tọa độ với gốc là điểm góc của một bờ kênh, sao cho điểm góc nhọn C có tọa độ (a, b). Viết phương trình đường thẳng đi qua C cắt hai trục tọa độ tại m và n.
• Bước 3: Độ dài thanh gỗ L^2 = m^2 + n^2. Khi biểu diễn n theo m thông qua tọa độ điểm C, bạn sẽ nhận được một hàm số. Đạo hàm của hàm số này sẽ giúp bạn tìm ra vị trí “nghẽn” nhất là khi nào?
• Bước 1: Bài toán hình học phẳng về lục giác lồi có các cặp cạnh đối song song và liên quan đến diện tích các tam giác tạo bởi phần kéo dài.
• Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng qua trung điểm các cạnh hoặc phép tịnh tiến để “di chuyển” diện tích các tam giác bên ngoài. Việc chứng minh sáu tam giác này “phủ” kín diện tích lục giác ban đầu là mấu chốt.
• Bước 3: Nếu ta coi lục giác có diện tích là 1, và chứng minh được các tam giác A_i B_i A_{i+1} sau khi biến đổi bao quanh lục giác, liệu tổng diện tích của chúng có thể nhỏ hơn phần lõi mà chúng bao phủ không?
• Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng qua trung điểm các cạnh hoặc phép tịnh tiến để “di chuyển” diện tích các tam giác bên ngoài. Việc chứng minh sáu tam giác này “phủ” kín diện tích lục giác ban đầu là mấu chốt.
• Bước 3: Nếu ta coi lục giác có diện tích là 1, và chứng minh được các tam giác A_i B_i A_{i+1} sau khi biến đổi bao quanh lục giác, liệu tổng diện tích của chúng có thể nhỏ hơn phần lõi mà chúng bao phủ không?
Đề thi chi tiết
Đề thi và lời giải chi tiếtBản quyền đề thi thuộc về Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang. Titan Library sưu tầm và thực hiện số hóa nhằm mục đích lưu trữ, phục vụ cộng đồng học tập phi lợi nhuận. Bản quyền các nội dung khác thuộc về Titan Library.
- Biên soạn: Nguyễn Phương Thảo
- Mã định danh tài liệu: TLC2651073658
Trích dẫn: Đề thi Học sinh giỏi THPT An Giang 2023-2024. Titan Library. Truy cập lúc 10:20, 15 tháng 1, 2026, từ https://titanhanoi.vn/de-thi-toan/hsg-thpt-an-giang-2023-2024/. Mã định danh: TLC2651073658.